关键词：粉喷桩复合地基；最终沉降量；灰色Verhulst模型
1. 概述
南京至高淳高速公路，位于南京南郊，根据工程勘测资料，沿线软弱土层分布在不同深度，冯村大桥南粉喷桩复合地基施工之初就设置了4个沉降长期观测点，分别定期进行观测。公路工程复合地基沉降是影响公路设计、安全和正常使用的重要因素。其沉降量大小，尤其是最终沉降量大小，是判断公路是否能安全、正常使用的重要指标之一。由于公路粉喷桩复合地基、路基和路面结构是一个相互作用、十分复杂的系统。公路粉喷桩复合地基沉降随时间变化的计算也十分复杂。
本文用德国生物学家Verhulst提出的非线性微分方程（式1）来建立公路沉降的预测模型。
dp（t）/dt=ap（t）-bp2（t）（1）
式中p（t）——是生物的繁殖量。
公路粉喷桩复合地基沉降随时间变化的实测s—t曲线形状是一个近似反s曲线，曲线特征吻合Verhulst模型曲线。
2. 灰色Verhulst模型建模步骤
设原始数列为x（0）（i）， i=1，2，…，n
（1）累加生成得x（1）（i）=∑i〖〗k=1x（0）（k）， i=1，2，…，n
（2）构造B和YN
B=1〖〗2x（1）（1）+x（1）（2）〖〗-1〖〗4x（1）（1）+x（1）（2）2
1〖〗2x（1）（2）+x（1）（3）〖〗-1〖〗4x（1）（2）+x（1）（3）2
…〖〗…
1〖〗2x（1）（n-1）+x（1）（n）〖〗-1〖〗4x（1）（n-1）+x（1）（n）2
Y=x（0）（2）
x（0）（3）
…
x（0）（n）
（3）作最小二乘计算a〖〗b=（BT.B）-1.BT.Y
（4）建立模型
把系数a、b代入式（1），解微分方程得：
（t=1，x（1）（1）=x（0）（1））
x（1）（t）=a〖〗b〖〗1+a〖〗b.1〖〗x（0）（1）-1.e-a（t-1）
这就是累加生成数列的模型。由该模型计算值所连成的曲线就是Verhulst模型曲线。
3. 对公路粉喷桩复合地基沉降建立的Verhulst模型
3.1 原始数据的处理
选择不同时间内的沉降差Δs作为原始数据。其累加生成数列正好是公路粉喷桩复合地基直到该时刻的沉降量s.
表1k 54+655处观测沉降的观测数据单位：cm
序号〖〗1〖〗2〖〗3〖〗4〖〗5〖〗6ΔS（I）〖〗2?5〖〗0?3〖〗0?1〖〗0?3〖〗0?1〖〗0?3S（I）〖〗2?5〖〗 2?8〖〗2?9〖〗3.2〖〗3?3〖〗3?6序号〖〗7〖〗8〖〗9〖〗10〖〗11〖〗12ΔS（I）〖〗0?3〖〗0?7〖〗0?2〖〗0?38 〖〗0?02〖〗0?02S（I）〖〗3?9〖〗4?6〖〗4?8〖〗5?18〖〗5?2〖〗5?22注：第一个点原来的累计沉降为2?8 cm.
3.2实例
表1是南京至高淳公路k 54+655处每次沉降观测数据S（I）和相邻两次沉降差ΔS（I），第1次观测时间为1999年4月30日，第12次观测时间为1999年10月15日，每次间隔半个月。
设原始数列为x（1）（i）=Δs（i）， i=1，2，…，n
（1）累加生成得x（1）（i）=∑i〖〗k=1x（0）（k）， i=1，2，…，n
（2）构造B和YN
B=2?65 〖〗-7?022 501
2?85 〖〗-8?122 499
3?05 〖〗-9?302 498
3?25 〖〗-10?562 5
3?45 〖〗-11?902 5
3?75 〖〗-14?062 5
4?25 〖〗-18?062?5
4?70 〖〗-22?089 9
4?99 〖〗-24?900 1
5?19 〖〗-26?936 1
5?21 〖〗-27?144 1YN=0?3
0?1
0?3
0?1
0?3
0?3
0?7
0?2
0?38
0?02
0?02
（3）建立模型
x（1）（t）=6?547 68〖〗1+1?619 152.e-0?174 040 7（t-1）
华东公路2002年第4期2002年第4期梁小平，薛国强：公路粉喷桩复合地基沉降预测浅论表2k 54+655处观测值与模型值相对误差单位：cm
序号〖〗1〖〗2〖〗3〖〗4〖〗5〖〗6观测值〖〗5?60〖〗5?70〖〗6?00〖〗6?10〖〗6?40〖〗6?70模型值〖〗 5?57〖〗5?86〖〗6?14〖〗6?42〖〗6?70〖〗6?97相对误差%〖〗0?54〖〗2?81〖〗2?33〖〗5?25〖〗4?69〖〗 4?03序号〖〗7〖〗8〖〗9〖〗10〖〗11观测值〖〗7?40〖〗7?60〖〗7?98〖〗8?00〖〗8?02模型值〖〗7?22〖〗7?46 〖〗7?69〖〗7?89〖〗8?06相对误差%〖〗2?43〖〗1?84〖〗3?63〖〗1?38〖〗0?50从表2可以看出，上面所建模型的拟合度是很高的，可以作为该公路复合地基沉降量s的预测模型。
（4）公路复合地基最终沉降量的确定
根据表1可得公路复合地基相邻两次沉降差ΔS（I）随时间的变化规律是总体上逐渐减小。而根据所建的灰色模型，当t无限增大时，模型计算值趋于极限，与实际情况符合。根据“最终沉降量”的定义，其极限就应该是公路复合地基最终沉降量。对于本例，最终沉降量s=9?52 cm.
3.3计算机程序
由于计算过程复杂的原因，手工计算速度慢而且准确率低。按照建模步骤编制计算机程序。鉴于此，按照建模步骤开发计算机计算数据的程序，实现计算的准确快速。程序包括：数据输入模块；矩阵转置、矩阵求逆、矩阵求积模块；求参数模块；模型计算模块；观测值与模型计算值相对误差计算模块；预测值计算模块；数据输出模块。输入变量数值，如“原始数列”等观测所得到的数据后，便自动计算出结果。
4. 结论
根据南京至高淳高速公路工程中粉喷桩复合地基沉降与时间关系曲线特征，提出用灰色Verhulst模型来模拟公路沉降的方法，并给出建模步骤。对于荷载稳定时得到的观测数据可直接使用该方法进行预测。对于加载过程中得到的观测数据，可先对数据处理再使用该方法进行预测。实践证明，这种建模方法计算程序简单。且只需较少的观测数据（一般要求不少于5个）就可建模，可以得到任意时刻的沉降值，能减少长期沉降观测的时间。
参考文献：
［1］张国祥，朱利香?地基极限承载力的灰色预测?工程勘察，1998，2?
［2］邓聚龙?灰色控制系统?武汉：华中理工大学出版社，1988
