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立体几何中二面角的平面角的定位

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空间图形的位置关系是立体几何的重要内容,解决立体几何问题的关键在于三定:定性分析→定位作图→定量计算,其中定性是定位、定量的基础,而宣则是定位、定性的深化,在面面关系中,二面角是其中的重要概念之一,它的度量归结为平面上角的度量,一般来说,对其平面角的定位是问题解决的先决一步,可是,从以往的教学中发现,学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱,甚至错误地定其位,使问题的解决徒劳无益,本文就是针对这一点,来谈一谈平日教学中体会。
一、 重温二面角的平面角的定义
如图(1),α、β是由ι出发的两个平面,O是ι上任意一点,OC
α,且OC⊥ι;CD β,且OD⊥ι。这就是二面角的平面角的环境背景,即∠COD是二面角α—ι—β的平面角,从中不难得到下列特征:
  
Ⅰ、过棱上任意一点,其平面角是唯一的;
Ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直;
另外,如果在OC上任取上一点A,作AB⊥OD垂足为B,那么
由特征Ⅱ可知AB⊥β.突出ι、OC、OD、AB,这便是另一特征;
Ⅲ、体现出一完整的垂线定理(或逆定理)的环境背景。
对以上特征进行剖析
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成,所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线(面)”的问题。
特征Ⅰ表明,其平面角的定位可先在棱上取一“点”,耐人寻味的是这一点可以随便取,但又总是不随便取定的,它必须与问题背景相互沟通,给计算提供方便。
例1 已知正三棱锥V—ABC侧棱长为a,高为b,求侧面与底面所成的角的大小。
由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心,所以连结CH交AB于O,且OC⊥AB,则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角如图(2)。正因为正三棱锥的特性,解决此问题,可以取AB的中点O为其平面角的顶点,而且使背景突出在面VOC上,给进一步定量创造得天独厚的条件。
特征Ⅱ指出,如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ与
α、β的交线,而交线所成的角就是α—ι—β的平面角,如图。

由此可见,二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。
例2 矩形ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线BD把△ABD折起,
使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上,求二面角A—BC-—C的大小。
  
这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题,解决问题的关键在
于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E,则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面,此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知,面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角,即为所求二面角的平面角。另外,A 在面BCD上的射影必在OE所在的直线上,又题设射影落在BC上,所以E点就是A′,这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上,AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5,OA′=OE=BO·tgc∠CBD,而BO=AB2/BD=9/5, tg∠CBD,故OA′=27/20。在Rt△AA′O中,∠AA′O=90°所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16,ty∠AOA′ =arccos9/16即所求的二面arccos9/16。
通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算,特征Ⅱ从另一角度告诉我们:要确定二面角的平面角,我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”,然后,在棱上选取一适当的垂线段,即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉,不仅便于定性、定位,更利于定量。
特征Ⅲ显示,如果二面角α—ι—β的两个半平面之一,存在垂线段AB,那么过垂足B作ι的垂线交ι于O,连结AO,由三垂线定理可知OA⊥ι;或者由A作ι的垂线交ι于O,连结OB,由三垂线定理逆定理可知OB⊥ι,此时,∠AOB就是二面角α—ι—β的平面角,如图。

由此可见,地面角的平面角的定位可以找“垂线段”。
    
例3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,棱长为2,E为BC的中点。求面B1D1E与面积BB1C1C所成的二面角的大小。
例3的环境背景表明,面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角,
由特征Ⅱ可知,这两个二面角的大小必定互补,下面,如
果思维由特征Ⅲ监控,背景中的线段C1D1会使眼睛一亮,我们只须由C1(或D1)作B1E的垂线交B1E于O,然后连结OD1(或OC1),即得面D1BE与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1,如图,计算可得C1O=4*51/2/5。
在Rt△D1C1O中,tg∠C1OD=D1C1/C1O=51/2/2。
故所求的二面角角为arctg51/2/2或π-arctg=51/2/2

三、三个特征的关系
以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色,其标的是
分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上,我们只要找到其中一个,另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。
1、 融合三个特征对思维的监控,可有效地克服、抑制思维的
消极作用,培养思维的广阔性和批判性。
例3 将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的
一个侧面吻合,则吻合后的几何呈现几个面?

这是一道竞赛题,考生答“7个面”的占99.9%,少数应服从多数吗?
如图,过两个几何体的高线VP、VQ的垂足P、Q分别作BC的垂线,则垂足重合于O,且O为BC的中点,OP延长过A,OQ延长交ED于R。由特征 Ⅲ,∠AOR为二面角A—BC—R平面角,结合特征Ⅰ、Ⅱ,可得VAOR为平行四边形,VA//BE,所以V、A、B、E共面,同理V、A、C、D共面,所以这道题的答案应该是5个面!
2、 三个特征,虽然客观存在,互相联系,但在许多同题中却
表现得含糊而冷漠——三个“标的”均藏而不露,在这种形势下,逼你去作,那么作谁?
由特征Ⅲ,有了“垂线段”便可定位。
例4 已知Rt△ABC的两直角边AC=2,BC=3,P为斜边上一
点,沿CP将此直角三角形折成直二面角A—CP—B,当AB=71/2时,求二面角P—AC—B的大小。
  
作法一:∵A—CP—B为直角二面角,
∴过B作BD⊥CP交CP的延长线于D,则BD⊥DM APC。
∴过D作DE ⊥AC,垂足为E,连BE。
∴∠DEB为二面角A—CP—B的平面角。
作法二:过P点作PD′⊥PC交BC于D′,则PD′⊥面APC。
∴过D′作D′E′⊥AC,垂足为E′,边PE′,
∴∠D′E′P为二面角P—AC—B的平面角。
再说,定位是为了定理,求角的大小往往要化归到一个三角形中去解,有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。
由此可见,要作,最好考虑作“垂线段”。
综上所述,二面角其平面角的正确而合理的定位,要在正确其定义的基础上,掌握其三个基本特征,并灵活运用它们考察问题的环境背景,建立良好的主观心理空间和客观心理空间,以不变应万变。


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